1 - Enlaces de Interés
1.1 - http://tallerdemateprofe.blogspot.com/
2 - Grandes Matemáticos
2.1 - Georg Cantor. Teoría de conjuntos
3 - Videos Matemáticos
4 - Matemáticas: Juegos, Diversiones y Curiosidades
5 - Libros de Matemáticas
5.1 El hombre que calculaba
6 - Geometría
6.1 - Poliedros. Sólidos Platónicos
6.2 - Fractales
7 - Hojas de Problemas
7.1 - Hoja de Problemas 1.2
7.2 - Hoja de Problemas 1.3
7.3 - Hoja de Problemas 2.1
8 - Matemáticas y Arte
8.1 - Maurits Cornelis Escher
8.2 - Aleksandr Ródchenko
8.3 - Mosaicos y Teselaciones. Hueso Nazarí
8.4 - Fotografía Matemática
9 - Matemáticas y Tecnología
9.1 - Telecomunicaciones
TCP/IP, , HTTP, HTML
Vinton Cerf, Tim Berners-Lee
10 - Números Exstraordinarios
10.1 - El Número de Oro φ (fi)
Relación con la serie de Fibonacci
El número áureo en la Naturaleza
El número áureo en el ser humano
El número áureo en el Arte
El número áureo en la Música
10.2 - El Número π (pi)
10.3 - El Número e
jueves, 4 de junio de 2009
jueves, 28 de mayo de 2009
6-Geometía.
6.1 Poliedros
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras...
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
-Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
-Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
-Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
-Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
-Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
-Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).
FRACTAL
Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
-Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
-Posee detalle a cualquier escala de observación.
-Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
-Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
-Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras...
Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:
-Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
-Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
-Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
-Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
-Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
-Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).
FRACTAL
Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
-Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
-Posee detalle a cualquier escala de observación.
-Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
-Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
-Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
5- Libros de matemáticas.
5.1 El hombre que calculaba.
Un profesor de matemáticas escondido detrás de un seudónimo misterioso, pobló mi imaginación infantil con leyendas del desierto, de los cielos y de la tierra. Se trata de Júlio César de Mello e Souza, conocido por todos sus lectores como Malba Tahan." Paulo Coelho Magia, sabiduría y belleza en una sorprendente colección de relatos del más eximio contador de historias de la literatura brasilera.Malba Tahan nació en 1895 en Río de Janeiro. Sus cuentos siguen siendo objeto de estudio e inspiración para muchos narradores, y un instrumento para resolver problemas para millones de lectores de todo el mundo.Su obra más famosa es El hombre que calculaba, traducida a más de doce idiomas, donde logra combinar, como nadie antes lo había hecho, el talento narrativo
Un profesor de matemáticas escondido detrás de un seudónimo misterioso, pobló mi imaginación infantil con leyendas del desierto, de los cielos y de la tierra. Se trata de Júlio César de Mello e Souza, conocido por todos sus lectores como Malba Tahan." Paulo Coelho Magia, sabiduría y belleza en una sorprendente colección de relatos del más eximio contador de historias de la literatura brasilera.Malba Tahan nació en 1895 en Río de Janeiro. Sus cuentos siguen siendo objeto de estudio e inspiración para muchos narradores, y un instrumento para resolver problemas para millones de lectores de todo el mundo.Su obra más famosa es El hombre que calculaba, traducida a más de doce idiomas, donde logra combinar, como nadie antes lo había hecho, el talento narrativo
4-Matemáticas :juegos, Diversiones y curiosidades
Esta página es un enlace de juegos matemáticos muy divertidos:
http://www.aulademate.com/
http://www.aulademate.com/
viernes, 24 de abril de 2009
9 - Matemáticas y Tecnología
Telecomunicaciones.
A Tim Berners-Lee, uno de los padres de Internet, no le gusta mirar al futuro ni pensar en el pasado. Prefiere analizar el presente. Y en su charla de apertura de la 18ª Conferencia Mundial de la WWW ha apostado por acabar con las TRABAS que actualmente hacen de muchos sitios 'jardines cerrados' a sus propietarios: "La Web 3.0 es la Web 2.0 sin barreras".
Tras saludar a "todos los geeks" del auditorio y a otros asistentes, Berners-Lee comenzó su charla con un objetivo claro -el de este evento-: dejar claro que una 'Ciencia de la web' es posible. Pero también lanzó algunas advertencias: "Los sitios vallados ('walled gardens') son una gran tentación, pero también pueden suponer una enorme frustración para el usuario".
La intervención del 'padre' de Internet estuvo precedida por la inauguración oficial del evento, que estuvo presidida por los Príncipes de Asturias, el rector de la Universidad Politécnica de Madrid, Javier Uceda, y el secretario de Estado de Telecomunicaciones, Francisco Ros.
El inventor del hipertexto -tras dejar muy claro que en el futuro ve píxeles y pantallas por todas partes- desveló su apuesta por redes sociales abiertas que mejoren las posibilidades de interactuar a los usuarios. No respecto a cómo deben funcionar, sino en lo relativo al tratamiento de los datos que albergan. Motivo por el que apuesta por estándares: es mejor dejar tus datos disponibles que cerrarlos, incluso desde una perspectiva empresarial, ha explicado.
Una mejor experiencia móvil
Poco más de un 20% de la población mundial está conectada a la Red. Y en muchos casos, al menos en el tercer mundo, su primer contacto con Internet se produce a través de dispositivos móviles. Por eso es imprescindible "hacer la web accesible para estos dispositivos". Y, por supuesto, que el acceso a la Red no dependa de acuerdos comerciales, sino que sea libre y abierto.
Otra de las propuestas de Berners-Lee es que Internet sea modulable, lo que mejorará sus posibilidades de crecimiento. "Hay que diseñar los sitios como si fuesen parte de algo más grande", ha dicho antes de destacar los problemas que afronta un sistema de este tipo: la existencia de muchos lenguajes de programación que tendrán que 'hablar' entre sí. El javascript, ha asegurado, es una solución, pero no siempre funcionará.
"Necesitamos que Internet sea más colaboradora y menos estática", ha afirmado sin temor a la interacción con los usuarios, pero también cree que es muy necesaria más "limpieza" en el tratamiento de los datos personales.
La Red que le gustaría tener a Berners-Lee es una con "datos bien integrados con los lenguajes de programación, de modo que sea muy sencillo operar", pero también tiene claro que, cuando esto ocurra, será necesario "un modelo muy eficaz para garantizar la seguridad".
TCP/IP
La familia de protocolos de Internet es un conjunto de protocolos de red en la que se basa Internet y que permiten la transmisión de datos entre redes de computadoras. En ocasiones se le denomina conjunto de protocolos TCP/IP, en referencia a los dos protocolos más importantes que la componen: Protocolo de Control de Transmisión (TCP) y Protocolo de Internet (IP), que fueron los dos primeros en definirse, y que son los más utilizados de la familia. Existen tantos protocolos en este conjunto que llegan a ser más de 100 diferentes, entre ellos se encuentra el popular HTTP (HyperText Transfer Protocol), que es el que se utiliza para acceder a las páginas web, además de otros como el ARP (Address Resolution Protocol) para la resolución de direcciones, el FTP (File Transfer Protocol) para transferencia de archivos, y el SMTP (Simple Mail Transfer Protocol) y el POP (Post Office Protocol) para correo electrónico, TELNET para acceder a equipos remotos, entre otros.El TCP/IP es la base de Internet, y sirve para enlazar computadoras que utilizan diferentes sistemas operativos, incluyendo PC, minicomputadoras y computadoras centrales sobre redes de área local (LAN) y área extensa (WAN). TCP/IP fue desarrollado y demostrado por primera vez en 1972 por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, ejecutándolo en ARPANET, una red de área extensa de dicho departamento.
HTTP
El protocolo de transferencia de hipertexto (HTTP, HyperText Transfer Protocol) es el protocolo usado en cada transacción de la Web (WWW). HTTP fue desarrollado por el consorcio W3C y la IETF, colaboración que culminó en 1999 con la publicación de una serie de RFC, siendo el más importante de ellos el RFC 2616, que especifica la versión 1.1.HTTP define la sintaxis y la semántica que utilizan los elementos software de la arquitectura web (clientes, servidores, proxies) para comunicarse. Es un protocolo orientado a transacciones y sigue el esquema petición-respuesta entre un cliente y un servidor. Al cliente que efectúa la petición (un navegador o un spider) se lo conoce como "user agent" (agente del usuario). A la información transmitida se la llama recurso y se la identifica mediante un URL. Los recursos pueden ser archivos, el resultado de la ejecución de un programa, una consulta a una base de datos, la traducción automática de un documento, etc.HTTP es un protocolo sin estado, es decir, que no guarda ninguna información sobre conexiones anteriores. El desarrollo de aplicaciones web necesita frecuentemente mantener estado. Para esto se usan las cookies, que es información que un servidor puede almacenar en el sistema cliente. Esto le permite a las aplicaciones web instituir la noción de "sesión", y también permite rastrear usuarios ya que las cookies pueden guardarse en el cliente por tiempo indeterminado.
Tim Berners-Lee
Sir Timothy "Tim" John Berners-Lee, OM, KBE (TimBL o TBL) nació el 8 de junio de 1955 en Londres, Reino Unido, se licenció en Física en 1976 en el Queen's College de la Universidad de Oxford. Es considerado como el padre de la web.Ante la necesidad de distribuir e intercambiar información acerca de sus investigaciones de una manera más efectiva, Tim desarrolló las ideas que forman parte de la web. Él y su grupo crearon lo que por sus siglas en inglés se denomina: Lenguaje HTML (HyperText Markup Language) o lenguaje de etiquetas de hipertexto; el protocolo HTTP (HyperText Transfer Protocol), y el sistema de localización de objetos en la web URL (Uniform Resource Locator).
Berners-Lee
trabajó en el CERN desde junio hasta diciembre de 1980. Durante ese tiempo, propuso un proyecto basado en el hipertexto para facilitar la forma de compartir y la puesta al día de la información entre investigadores. En este periodo también construyó un programa llamado ENQUIRE que no llegó a ver la luz.Después de dejar el CERN, en 1980, se fue a trabajar a la empresa de John Poole Image Computer Systems Ltd., pero regresó al CERN otra vez en 1984.En 1989, el CERN era el nodo de Internet más grande de Europa y Berners-Lee vio la oportunidad de unir Internet y el hipertexto (HTTP y HTML), de lo que surgiría la World Wide Web. Desarrolló su primera propuesta de la Web en marzo de 1989, pero no tuvo mucho eco, por lo que en el 1990 y con la ayuda de Robert Cailliau, hicieron una revisión que fue aceptada por su gerente, Mike Sendall. Usó ideas similares a las que había usado en el sistema Enquire para crear la World Wide Web, para esto diseñó y construyó el primer navegador (llamado WorldWideWeb y desarrollado con NEXTSTEP) y el primer servidor Web al que llamó httpd (HyperText Transfer Protocol daemon).El primer servidor Web se encontraba en el CERN y fue puesto en línea el 6 de agosto de 1991. Esto proporcionó una explicación sobre lo que era el World Wide Web, como uno podría tener un navegador y como establecer un servidor Web. Este fue también el primer directorio Web del mundo, ya que Berners-Lee mantuvo una lista de otros sitios Web aparte del suyo. Debido a que tanto el software del servidor como del cliente fue liberado de forma gratuita desde el CERN, el corazón de Internet Europeo en esa época, su difusión fue muy rápida. El número de servidores Web pasó de veintiséis de 1992 a doscientos en octubre de 1995 lo que refleja cual fue la velocidad de la difusión de internet.En 1994 entró en el Laboratorio de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial del Massachusetts Institute of Technology. Se trasladó a EE.UU. y puso en marcha el W3C, que dirige actualmente. El W3C es un organismo internacional de estandarización de tecnologías Web dirigido conjuntamente por el Instituto Tecnológico de Massachusetts, el ERCIM francés y la Universidad de Keio en Japón. Este organismo decidió que todos sus estándares fuesen libres, es decir, que los pudiese utilizar todo el mundo libremente sin coste alguno, lo que sin lugar a dudas fue una de las grandes razones para que la Web haya llegado a tener la importancia que tiene hoy en día.En su libro Tejiendo la red, publicado en 1999, Tim Berners-Lee explica por qué la tecnología web es libre y gratis. Se considera al mismo tiempo el inventor y el protector de la web.
10- Numeros estraordinarios
NÚMERO DE ORO φ
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
NUMERO π
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
NUMERO π
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
NÚMERO e
La constante matemática e es el único número real que siendo usado como base de una función exponencial hace que la derivada de ésta en cualquier punto coincida con el valor de dicha función en ese punto. Así, la derivada de la función f(x) = ex es esa misma función. La función ex es también llamada función exponencial, y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo en base e o logaritmo neperiano.
El número e es uno de los números más importantes en la matemática,[1] junto con el número π, la unidad imaginaria i y el 0 y el 1, por ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente. Curiosamente, la identidad de Euler los relaciona (eiπ+1=0) de manera asombrosa. Además, en virtud de la fórmula de Euler, es posible expresar cualquier número complejo en notación exponencial.
A diferencia de lo que se cree, el número e no se llama número de Euler. Su nombre correcto es la constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. La constante e no debe ser confundida con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler.
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo, debido principalmente a que la función ex coincide con su derivada, y por lo tanto, esta función exponencial suele aparecer en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por ecuaciones diferenciales sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. Si nos fijamos con atención, en todos estos ejemplos podemos encontrar el número e. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, la amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.) , químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
Su valor aproximado (truncado) es
EL NÚMERO AUREO EN LA NATURALEZA
EL NÚMERO DE ORO: ¿ UN PASATIEMPO MATEMÁTICO ?
Con todo lo visto hasta ahora, puede parecer que el número de oro es sólo éso; un número
(aunque quizás apasionante para los matemáticos y para aquellos que creen en una mano divina ).
¿ Estará aquí Phi ? 
En la figura se puede comprobar que AB/CD=Φ
Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=Φ
y CD/CA=Φ
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la
Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor. 
En el Hombre
Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.
En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.
10.2 EL NÚMERO (pi) π
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en Geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Por ello, tal vez sea la constante que más pasiones desata entre los matemáticos profesionales y aficionados. La relación entre la circunferencia y su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas.
EL NÚMERO e
La constante matemática e es el único número real que siendo usado como base de una funció exponencial hace que la derivada de ésta en cualquier punto coincida con el valor de dicha función en ese punto. Así, la derivada de la función f(x) = ex es esa misma función. La función ex es también llamada función exponencial, y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo en base e o logaritmo neperiano.El número e es uno de los números más importantes en la matemática, junto con el número π, la unidad imaginaria i y el 0 y el 1, por ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente. Curiosamente, la identidad de Euler los relaciona (eiπ+1=0) de manera asombrosa. Además, en virtud de la fórmula de Euler, es posible expresar cualquier número complejo en notación exponencial.A diferencia de lo que se cree, el número e no se llama número de Euler. Su nombre correcto es la constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. La constante e no debe ser confundida con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler.El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo, debido principalmente a que la función ex coincide con su derivada, y por lo tanto, esta función exponencial suele aparecer en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por ecuaciones diferenciales sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. Si nos fijamos con atención, en todos estos ejemplos podemos encontrar el número e. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos , biológicos , químicos , y muchos más.El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
viernes, 20 de febrero de 2009
Matematicas y arte
Maurits Cornelis Escher o M.C Escher o Escher el holandes nació el 17de junio de1889en Leeuwarden (Países Bajos), siendo el hijo más joven de un ingeniero hidráulico. Su profesor F.W. van der Haagen le enseñó la técnica de los grabados en linóleo y fue una gran influencia para el joven Escher.No fue precisamente un estudiante brillante, y sólo llegó a destacar en las clases de dibujo. En 1919 y bajo presión paterna empieza los estudios de arquitectura en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, estudios que abandonó poco después para pasar como discípulo de un profesor de artes gráficas, Jessurum de Mesquitas. Adquirió unos buenos conocimientos básicos de dibujo, y destacó sobremanera en la técnica de grabado en madera, la cual llegó a dominar con gran maestría.Viaja a España, y en particular a Granada. Visita dos veces la Alhambra, la segunda vez de forma más detenida, copiando numerosos motivos ornamentales. Lo que aprendió allí tendría fuertes influencias en muchos de sus trabajos, especialmente en los relacionados con la partición regular del plano y el uso de patrones que rellenan el espacio sin dejar ningún hueco.
En1941se muda a Baarn(Países Bajos), después de una estancia difícil en Bélgica. Parece que debido al habitual mal tiempo de esa región, donde los días soleados se consideran una bendición, es por lo que abandona los motivos paisajísticos como modelos y se centra más en su propia mente, encontrando en ella una potentísima fuente de inspiración. Hasta 1951 vivió básicamente dependiendo económicamente de sus padres. A partir de entonces fue cuando comenzó a vender sus grabados y obtener un buen dinero por ellos. Esto le permitió vivir sus últimos años con una economía personal excelente. Generalmente hacía copias de las litografías y grabados por encargo. También hizo por encargo diseños de sellos, portadas de libros, y algunas esculturas en marfil y madera. En cierto modo le resulta gratificante y a la vez fácil, y se admiraba de tener en su taller una especie de «máquina de fabricar billetes» reproduciendo sus propias obras. Normalmente no usaba elementos de obras anteriores en las nuevas, excepto en los encargos especiales. Hacía, por ejemplo, esculturas en madera basadas en algunos de sus dibujos, y para algunas peticiones especiales reciclaba parte de las ideas y elementos de obras anteriores.Quizás por ello en este período su producción sea tan fructífera y regular, y sólo se verá interrumpida por la operación que sufrió en 1962, consecuencia de su debilitada salud. En1969con 71 años realiza su grabado "Serpientes" donde demuestra sus facultades a pesar de su avanzada edad.
En 1970 se traslada a la Casa Rosa Spier de Laren, al norte deHolanda, donde los artistas podían tener estudio propio. En esa ciudad fallece dos años más tarde, 27 de marzo de 1972 a la edad de 73 años.
Ródchenko en el estadio. Foto de A. Brodsky, 1935Alexandr Ródchenko (San Petersburgo, 1891- Moscú, 1956) es una de las figuras centrales de la evolución artística en Moscú en el período posterior a la Revolución en Rusia. Figura relevante de la vanguardia europea y maestro destacado del constructivismo ruso, experimentó una gran variedad de lenguajes artísticos: pintura, escultura, fotografía, cine, teatro, ilustración, muebles, diseño arquitectónico, textil y tipográfico, con la intención de unificar el arte y la vida de la nueva sociedad postrevolucionaria. En 1919 pintó Negro sobre negro en respuesta al Blanco sobre blanco de Malévich, del mismo año, y en 1924 empezó su trabajo fotográfico: realizó numerosos retratos, fotografía de género y vida cotidiana, fotografía experimental de arquitecturas y objetos en perspectivas muy forzadas, temas circenses y acontecimientos deportivos. Junto con su esposa Varvara Stepánova, Ródchenko colaboró con varias revistas y editoriales en numerosos trabajos publicitarios, diseños gráficos y otras manifestaciones artísticas. Por escrito y con sus obras, Ródchenko anunció el final de la pintura de caballete, al tiempo que orientó su trabajo hacia nuevos campos y medios de expresión.
jueves, 15 de enero de 2009
Hoja de Problemas 2.1
1. Los tres condenados
Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por él mismo.
Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente:
A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blanca y dos tiras negras. Después ordenó que a la espalda de cada preso por separado se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al primero que supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su tira.
El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada.
¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?
2. Triquis y traques
Los triquis y los traques son dos curiosas tribus que tienen esta notable particularidad: Que los hombres triquis mienten siempre, mientras que los traques no mienten jamás. Un explorador, que se deslizaba por el río a bordo de una barca conducida por un indígena, vio en la orilla a otro indígena que por su apariencia física se adivinaba de tribu contraria a la de su barquero. -¿De qué tribu eres tú?- interrogó el explorador al hombre de la orilla.
La respuesta se hizo confusa, por la distancia, y el explorador preguntó a su barquero: -¿Qué es lo que me ha respondido? -Dice que es un traque- contestó el barquero.
Se trata ahora de saber a qué tribu pertenecía cada uno de los indígenas
Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador despótico, y condenados a muerte por él mismo.
Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepintió de su severidad, y decidió indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el más inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente:
A la vista de los presos mostró tres tiras de paño blanca y dos tiras negras. Después ordenó que a la espalda de cada preso por separado se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí, pero que no se comunicasen. Prometió la libertad al primero que supiese acertar, con razonamiento infalible, el color de su tira.
El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas y a los pocos segundos pidió ser llevado ante el Gobernador, quien expuso la respuesta acertada.
¿Qué fue lo que dijo A y cómo lo razonó?
2. Triquis y traques
Los triquis y los traques son dos curiosas tribus que tienen esta notable particularidad: Que los hombres triquis mienten siempre, mientras que los traques no mienten jamás. Un explorador, que se deslizaba por el río a bordo de una barca conducida por un indígena, vio en la orilla a otro indígena que por su apariencia física se adivinaba de tribu contraria a la de su barquero. -¿De qué tribu eres tú?- interrogó el explorador al hombre de la orilla.
La respuesta se hizo confusa, por la distancia, y el explorador preguntó a su barquero: -¿Qué es lo que me ha respondido? -Dice que es un traque- contestó el barquero.
Se trata ahora de saber a qué tribu pertenecía cada uno de los indígenas
viernes, 5 de diciembre de 2008
Hoja de mate1.2
1) Coloca diez soldaditos sobre una mesa de modo que haya cinco filas de cuatro soldaditos.
2) ¿Cuántos 9 se utilizan para escribir todos los números del 0 300?
3) Quita 8 pasillos de la figura que tiene 24.
a) Quita 8 para que queden 5 cuadrados.
b) Quita 8 para que queden 4 cuadrados.
4) El producto de las edades de tres personas es 390 ¿Cuáles son dichas edades?
5) Sitúa doce soldaditos sobre una mesa de modo que haya seis filas de cuatro soldaditos.
6) Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días. ¿Que vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona?
7) El primer digito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha, manteniendo el orden del resto de las cifras, el nuevo número es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?
8) Un amigo le dice al otro:
- Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casa.
- No puedo averiguar las edades, responde el amigo.
- ¡Ah! Es cierto. La mayor toca el piano.
- Ya sé las edades de tus hijas.
¿Cuáles son?
9) Cambiando solo tres cifras de lugar, has de conseguir invertir el triangulo, poniendo la base arriba y el vértice abajo.
10) TRES CABALLEROS CON SUS ESCUDEROS. Tres caballeros, cada uno con su escudero, se reunieron para cruzar un río. Encontraron una barca pequeña de dos plazas. Pero surgió una dificultad: todos los escuderos se niegan a permanecer con caballeros desconocidos sin la presencia de su amo. No valieron amenazas. Los testarudos escuderos se mantuvieron en lo suyo. Las seis personas a la otra orilla cumpliendo la condición.
¿Cómo lo hicieron?
2) ¿Cuántos 9 se utilizan para escribir todos los números del 0 300?
3) Quita 8 pasillos de la figura que tiene 24.
a) Quita 8 para que queden 5 cuadrados.
b) Quita 8 para que queden 4 cuadrados.
4) El producto de las edades de tres personas es 390 ¿Cuáles son dichas edades?
5) Sitúa doce soldaditos sobre una mesa de modo que haya seis filas de cuatro soldaditos.
6) Cuatro vacas suizas y tres autóctonas dan tanta leche en cinco días como tres vacas suizas y cinco autóctonas en cuatro días. ¿Que vaca es mejor lechera, la suiza o la autóctona?
7) El primer digito de un número de seis cifras es 1. Si se mueve al otro extremo, a la derecha, manteniendo el orden del resto de las cifras, el nuevo número es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?
8) Un amigo le dice al otro:
- Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y su suma coincide con el número de esta casa.
- No puedo averiguar las edades, responde el amigo.
- ¡Ah! Es cierto. La mayor toca el piano.
- Ya sé las edades de tus hijas.
¿Cuáles son?
9) Cambiando solo tres cifras de lugar, has de conseguir invertir el triangulo, poniendo la base arriba y el vértice abajo.
10) TRES CABALLEROS CON SUS ESCUDEROS. Tres caballeros, cada uno con su escudero, se reunieron para cruzar un río. Encontraron una barca pequeña de dos plazas. Pero surgió una dificultad: todos los escuderos se niegan a permanecer con caballeros desconocidos sin la presencia de su amo. No valieron amenazas. Los testarudos escuderos se mantuvieron en lo suyo. Las seis personas a la otra orilla cumpliendo la condición.
¿Cómo lo hicieron?
Hoja de mate 1.3
1) ¿De cuántas formas diferentes se pueden juntar 8€ utilizando solo monedas de 2€, 1€ y 0.50 €?
2) Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?
3) Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.
¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?
4) Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número.
Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:
55: 5 – 5 = 6
Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:
a) Los veinte primeros números naturales.
b) Los números 111 y 125.
c) Los números 500, 1000 y 3000.
5) Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?
6) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.
a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos.
b) La suma de dos impares consecutivos no es múltiplo de cuatro.
c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres.
7) ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales?
8) ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades?
¿Y para comunicar n ciudades?
9) Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?
10) ¿En cuantos ceros acaba el número 125!?
11) ¿Cuál es el último dígito de la expresión 2 (elevado a la 103) + 3?
12) De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?
2) Un motorista sale de su casa para acudir a una cita. Se da cuenta de que si viaja a 60 km/h llegará un cuarto de hora tarde, pero si lo hace a 100 km/h llegará un cuarto de hora antes. ¿A qué distancia está su destino?
3) Si los miembros de un grupo bailan de dos en dos, sobra uno. Si lo hacen de tres en tres, sobran dos, y si lo hacen de cinco en cinco también sobran dos.
¿Cuántas personas componen el grupo sabiendo que su número está comprendido entre 10 y 20? ¿Y si estuviera comprendido entre 30 y 50?
4) Utilizando solamente la cifra 5 y las operaciones oportunas se puede obtener cualquier número.
Por ejemplo, para obtener 6 podemos hacer:
55: 5 – 5 = 6
Busca la manera de obtener con la mínima cantidad de cincos:
a) Los veinte primeros números naturales.
b) Los números 111 y 125.
c) Los números 500, 1000 y 3000.
5) Un nenúfar, en un lago, dobla su tamaño todos los días. En un mes cubre todo el lago. ¿Cuánto tiempo tardarán dos nenúfares en cubrir todo el lago?
6) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona tus respuestas.
a) La suma de dos números consecutivos no es múltiplo de dos.
b) La suma de dos impares consecutivos no es múltiplo de cuatro.
c) La suma de tres números naturales consecutivos es múltiplo de tres.
7) ¿Cuántos capicúas existen de cuatro cifras en los que las dos cifras extremas suman lo mismo que las dos centrales?
8) ¿Cuántos tramos de carretera son necesarios para comunicar cuatro ciudades de forma que desde cada una se pueda llegar a cualquier otra sin pasar por una tercera? ¿Y para comunicar cinco ciudades?
¿Y para comunicar n ciudades?
9) Un grupo de amigos va a comer a un restaurante chino. Cada dos comparten un plato de arroz, cada 3 uno de salsa y cada cuatro uno de carne. En total se sirvieron 65 platos. ¿Cuántos amigos fueron a comer?
10) ¿En cuantos ceros acaba el número 125!?
11) ¿Cuál es el último dígito de la expresión 2 (elevado a la 103) + 3?
12) De los 30 alumnos y alumnas de una clase, 15 declaran ser aficionados al rock, y 13, al bacalao. Hay 6 de ellos que son aficionados a ambos ritmos musicales. ¿Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro?
viernes, 28 de noviembre de 2008
viernes, 14 de noviembre de 2008
2 - Grandes Matemáticos
Georg Cantor fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de los conjuntos, que parecían invalidar toda su teoría . Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.
Albert Einstein (14 de marzo de 1879 - 18 de abril de 1955) fue un físico alemán, nacionalizado suizo primero, posteriormente estadounidense. Es el científico más conocido e importante del siglo XX. .
En 1905, siendo un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna (Suiza), publicó su Teoría de la Relatividad Especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple y con base en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados anteriormente por Henri Poincaré y Hendrik Lorentz. Probablemente, la ecuación de la física más conocida a nivel popular es la expresión matemática de la equivalencia masa-energía, E=mc², deducida por Einstein como una consecuencia lógica de esta teoría. Ese mismo año publicó otros trabajos que sentarían algunas de las bases de la física estadística y la mecánica cuántica.
En 1915[2] presentó la Teoría General de la Relatividad, en la que reformuló por completo el concepto de gravedad. Una de las consecuencias fue el surgimiento del estudio científico del origen y evolución del Universo por la rama de la física denominada cosmología. Muy poco después, Einstein se convirtió en un icono popular de la ciencia alcanzando fama mundial, un privilegio al alcance de muy pocos científicos.
Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica, y no por la Teoría de la Relatividad, pues el científico a quien se encomendó la tarea de evaluarla, no la entendió, y temieron correr el riesgo de que se demostrara errónea posteriormente. En esa época era aún considerada un tanto controvertida por parte de muchos científicos.
George Pólya (13 de diciembre de 1887 – 7 de septiembre de 1985, Pólya György en húngaro) fue un matemático que nació en Budapest, Hungría y murió en Palo Alto, EUA. Trabajó en una gran variedad de temas matemáticos, incluidas las series, la teoría de números, geometría, álgebra, análisis matemático la combinatoria y la probabilidad.Reseña Biográfica [editar]
En sus últimos años, invirtió un esfuerzo considerable en intentar caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas, y para describir cómo debería enseñarse y aprender la manera de resolver problemas. Escribió tres libros sobre el tema: Cómo resolverlo (How to solve it), Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen I: Inducción y analogía en matemáticas y Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen II: Patrones de inferencia plausible.
En Cómo resolverlo, Pólya proporciona heurísticas generales para resolver problemas de todo tipo, no sólo los matemáticos. El libro incluye consejos para enseñar matemática a los estudiantes y una mini-enciclopedia de términos heurísticos. Ha sido traducido a muchos idiomas y vendido más de un millón de copias. El físico ruso Zhores I. Alfyorov, (Premio Nobel de Física de 2000) lo alabó, diciendo que estaba encantado con el famoso libro de Pólya.
En 1976 la Mathematical Association of America estableció el premio George Pólya "para artículos de excelencia expositiva publicados en el College Mathematics Journal".
En Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen I, Pólya habla sobre el razonamiento inductivo en la matemática, mediante el que pretende razonar de casos particulares a reglas generales (también incluye un capítulo sobre la técnica llamada inducción matemática, pero no es el tema principal). En Matemáticas y razonamiento plausible, Volumen II, comenta formas más generales de lógica inductiva que pueden usarse para determinar de forma aproximada hasta qué grado es plausible una conjetura (en particular, una matemática).
Algunas citas "Él era el único alumno que me dio miedo" (comentó acerca de John von Neumann)
"How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum mechanics". (Esto es una regla mnemotécnica para los primeros quince dígitos de π; siendo las longitudes de las palabras los dígitos)
Si no puedes resolver un problema, entonces hay una manera más sencilla de resolverlo: encuéntrala
Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.
Fantasear es imaginar cosas que no tienes... puede ser malo igual que demasiada sal es mala en la sopa o incluso un poco de ajo en un pastel de chocolate. Quiero decir que las fantasías pueden ser malas si hay demasiadas o si están en el lugar equivocado, pero pueden ser buenas por sí mismas y una gran ayuda en la vida y en la solución de problemas.
viernes, 24 de octubre de 2008
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
